Приведение вещественной квадратичной формы к главным осям

Пусть $f(x)$ — квадратичная форма на $F^n$ с матрицей $Q$. Если $g(y) = f(Ay)$ для $A \in M_n(F)$, то матрица квадратичной формы $g$ есть $A^{\mathrm{T}} Q A$.

$$ g(y) = f(Ay) = (Ay)^{\mathrm{T}} Q (Ay) = y^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} Q A y $$ а значит $A^{T}QA$ - матрица квадратичной формы $g$ $\square$

**Ортогональная замена** - замена вида $x = Ty$, где $T$ — **ортогональная матрица** (т.е. $T^{-1} = T^T$) Геометрически эта замена соответствует повороту (и, возможно, отражению), что позволяет переводить декартову систему координат в декартову.

Для вещественной квадратичной формы $q(x)$ существует ортогональная замена переменных $x = Ty$ ($T \in M_n(\mathbb{R})$ ортогональна), приводящая её к каноническому виду $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i y_i^2$

Пусть $B$ — симметричная матрица формы $q$ в стандартном базисе ($B = B^{\mathrm{T}}$). Оператор $\mathcal{B}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ с матрицей $B$ самосопряжён. По теореме о структуре самосопряжённого оператора существует ОНБ $v = \{v_1, \dots, v_n\}$ из собственных векторов: $$\mathcal{B}v_i = \lambda_i v_i \quad (\lambda_i \in \mathbb{R})$$ В этом базисе матрица имеет диагональный вид $[\mathcal{B}]_v = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$. Пусть $T$ — матрица перехода к базису $v$. Так как базис ортонормирован, $T$ ортогональна: $T^{-1} = T^{\mathrm{T}}$. Тогда: $$T^{-1}BT = T^{\mathrm{T}} B T = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) $$ А значит $T$ - искомая замена $\square$